Du chaos émerge l’ordre. Lorsque les lois des probabilités sculptent le hasard

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L’un des jouets que je possède en tant qu’adulte (oui j’en ai quelques-uns !), est la planche de Galton.

Il s’agit d’une planche qui se ressemble un peu à un sablier mais contient des billes au lieu du sable et des clous plantés en plusieurs rangées sur la partie supérieure. La partie inférieure contient des cases pour recueillir les billes tombées. Lorsque celles-ci commencent à tomber, le rôle des clous est de les orienter à droite ou à gauche pour les distribuer de manière aléatoire dans les cases de recueil. (Image 1).

La planche de Galton en action (© Wikipédia)

Lorsque une bille touche un clou, elle peut aller à gauche ou à droite avec une probabilité égale. Cependant, ce qui est étonnant concernant ce dispositif, c'est que malgré le chemin aléatoire de chaque bille, la distribution finale de l’ensemble des billes dans les cases, forme toujours une courbe en cloche (courbe de Gauss) comme le montre l'image ci-dessous.

La distribution des billes forme une courbe en cloche (courbe de Gauss)

Reproduire les résultats avec des dés

Vous n'avez pas besoin d'une planche de Galton pour tester ce phénomène, vous pouvez utiliser des dés ⚀ ⚁ ⚂ ⚃ ⚄ ⚅.

Lancez 10 dés simultanément, puis additionnez les valeurs obtenues et notez la somme. En répétant les lancers, vous obtiendrez une liste des différentes sommes. La somme la plus petite possible sera 1 × 10 = 10, et celle la plus grande sera 6 × 10 = 60. Ces deux chiffres représentent les extrémités des sommes probables qui peuvent être n’importe quel chiffre entre 10 et 60. Pour visualiser la fréquence des sommes, vous pouvez mettre vos résultats sur un graphique où l’axe Y représente la fréquence des sommes et l’axe X représente les valeurs des sommes.

Là encore, vous allez voir la fameuse courbe en cloche, malgré la nature aléatoire du lancer des dés.

La distribution des sommes des dés.

La fréquence des sommes des dés forment une courbe en cloche

Jouer sans dés ?

Avec des vrais dès, afin de pouvoir observer la fréquence atypique de certaines sommes par rapport aux autres, vous devrez réaliser un très grand nombre de lancers, ce qui peut se révéler très difficile et chronophage. Heureusement, nous pouvons simuler des dés avec l'ordinateur. Ainsi, pour nous faciliter la tâche et nous permettre de réaliser un très grand nombre de lancers, nous pouvons créer des dés virtuels avec Python en générant des chiffres pseudo-aléatoires entre 1 et 6, et en utilisant Matplotlib pour créer des graphiques représentant les sommes et leur fréquence. (code source ici).

Le code simule des lancers de dés en utilisant un nombre spécifié de dés. Vous pouvez ajuster le nombre de dés lancés à chaque itération ainsi que le nombre total d’essais en modifiant les variables dice (nombre de dés) et rolls (nombre de lancers) dans le code. Nous effectuerons trois séries de tests, chacune comprenant trois lancers, afin d’observer les graphiques générés. Tous les tests seront réalisés avec 10 dés, mais nous ferons varier le nombre de lancers dans chaque série. Ainsi, la première série comportera 10 dés et 100 lancers, la deuxième série 10 dés et 10000 lancers, et la troisième série 10 dés et 1000000 de lancers. Au total, nous obtiendrons trois séries de graphiques illustrant chacune les trois résultats de chaque série. L’axe horizontal dans les graphiques représente les différentes sommes obtenues, tandis que l’axe vertical indique leur fréquence d’apparition.

Trois tests avec 10 dés et 100 lancers

# paramètres dans le code
dice = 10
rolls = 100

Trois tests avec 10 dés et 10 000 lancers

# paramètres dans le code
dice = 10
rolls = 10000

Trois tests avec 10 dés et 1 000 000 lancers

# paramètres dans le code
dice = 10
rolls = 1000000

Résultat :

La courbe en forme de cloche réapparaît avec les dés et devient plus uniforme à mesure que le nombre de lancers augmente. Là encore, malgré la nature aléatoire du lancer de dés, cela n’empêche pas l’émergence d’un système ordonné à grande échelle.

Et si on introduisait des biais ?

Jusqu'à ce stade, les paramètres dans le code sont configurés de sorte que chaque face du dé (chiffre de 1 à 6) a une probabilité égale d’apparaître, soit 1/6.

Dans le code Python, la variable numbers représente les chiffre des faces du dé et la variable weights représente la probabilité de son apparition par rapport aux autres.

numbers = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
weights = [1, 1, 1, 1, 1, 1] 

La valeur 1 dans chaque position de la liste weights attribuée à chaque chiffre du dé signifie qu'ils ont tous une probabilité égale, soit 1/6. Modifions cela.

Pourrions-nous déformer la courbe si on introduisait des biais ?

Maintenant, nous allons modifier la variable weights pour donner aux sommes qui apparaissent moins fréquemment des poids plus élevés et aux sommes qui apparaissent plus fréquemment des poids plus bas :

weights = [100, 50, 1, 1, 50, 100]

Cela signifie que les lancers des dés ont 100 fois plus de chances de donner un 1 ou un 6 que de donner un 3 ou un 4, et 50 fois plus de chances de donner un 2 ou un 5 que de donner un 3 ou un 4.

L'idée est de faire en sorte que les colonnes qui représentent la fréquence des sommes égales ou proches de 1 et de 60 (les extrémités) soient plus hautes que les colonnes qui représentent la somme médiane 35 et ses voisins, de façon à transformer la courbe de sa forme convexe en une forme concave.

Nous allons alors répéter les 3 séries de tests après avoir introduit les biais :

Trois tests avec des biais et 10 dés et 100 lancers

# paramètres dans le code
dice = 10
rolls = 100

Trois tests avec des biais et 10 dés et 10 000 lancers

# paramètres dans le code
dice = 10
rolls = 10000

Trois tests avec des biais et 10 dés et 1 000 000 lancers

# paramètres dans le code
dice = 10
rolls = 1000000

Résultat :

Échec ! Malgré une légère déformation, la courbe conserve toujours sa forme en cloche.

Aucune magie dans les maths

En effet, il n’y a rien de magique dans la planche de Galton ni dans les sommes des dés. La distribution des billes, qui forme une courbe en cloche, n’est qu’une illustration de la loi des grands nombres et de la distribution normale. Un.e mathématicien.ne ou un statisticien.ne ne serait probablement pas surpris.e par ces résultats. Elle/Il nous expliquerait que le triangle de Pascal explique la distribution binomiale des chemins à travers la planche, qui se rapproche de la distribution normale pour un grand nombre de rangées, et que la loi de probabilité prédit la forme du graphique représentant la fréquence des sommes des dés, même lorsque des biais sont introduits.

Le triangle de Pascal nous aide à comprendre pourquoi les billes tombent de cette façon. Chaque nombre dans le triangle représente le nombre de chemins différents qu'une bille peut emprunter pour atteindre un clou spécifique. Les positions centrales ont le plus de chemins qui y mènent, donc plus de billes s'y accumulent. À l'inverse, les bords ont beaucoup moins de chemins, ce qui résulte en moins de billes. Ce modèle mathématique prédit exactement où les billes atterriront, transformant ce qui semble être du pur hasard en une distribution prévisible.

Le triangle de Pascal et le nombre de chemins menant à des positions à la dernière ligne.

Observations et analogies

Ce phénomène invite à la réflexion sur son impact sur nous.

Il nous enseigne que des événements chaotiques peuvent se révéler harmonieux à grande échelle. Du hasard et de l'imprévisibilité peut naître l'ordre. Par exemple, l’univers étrange de la mécanique quantique, caractérisé par l’incertitude, la superposition et l’intrication, révèle que la matière possède une nature intrinsèquement chaotique. Cependant, lorsqu’elle est observée à grande échelle (avec nos propres yeux), elle apparaît comme étant parfaitement stable.

De même, ce phénomène nous invite à réfléchir aux biais cognitifs présents dans nos décisions et expériences quotidiennes. Parfois, nous introduisons des biais conscients ou inconscients dans nos choix, mais les lois statistiques parviennent-elles toujours à s’imposer pour nuancer ces biais ? En d’autres termes, ces biais ont-ils vraiment un impact significatif sur l’ensemble de notre parcours de vie ?